mo8.co 对于 \( n \geq 3 \), 证明存在常数 \( C > 0 \), 使得对所有 \( u \in H^1(\mathbb{R}^n) \)，有 \[ \int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2} \, dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2 \, dx. \] 并确定最优常数 \( C = \frac{4}{(n-2)^2} \).

问题: 对于 \( n \geq 3 \), 证明存在常数 \( C > 0 \), 使得对所有 \( u \in H^1(\mathbb{R}^n) \)，有 \[ \int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2} \, dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2 \, dx. \] 并确定最优常数 \( C = \frac{4}{(n-2)^2} \).

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